二次根式测试题（二次根式练习题）

二次根式是高中数学中的一个重要内容，也是考试的热点之一。本篇文章将提供一组二次根式测试题，帮助读者结合理论学习做好练习。

测试题一

已知 √a + √b = 1，求 √a - √b 的值。

解答：

第一步，将式子中的 √a 和 √b 分别平方：

a + b + 2√ab = 1

第二步，将 √ab 项移到等式右边：

a + b = 1 - 2√ab

第三步，再平方：

a^2 + b^2 + 2ab = 1 - 4ab + 4ab

a^2 + b^2 = 1 - 2ab

第四步，将 √a - √b 的平方展开：

a + b - 2√ab

由第一步的式子可知 a + b = 1 - 2√ab，代入即得：

1 - 4√ab

测试题二

已知 2 + √3 = (a + b√3)^2，求 a 和 b 的值。

解答：

第一步，展开右边的式子：

4 + 4b√3 + 3b^2

第二步，将各项系数与题目中的式子相比较：

a^2 + 3b^2 = 4

2ab = 4b√3

根据第二个式子得到 a = 2√3

代入第一个式子解方程：

12b^2 = 4 - 12 = -8

b^2 = -\\dfrac{2}{3}

由于 b 的平方小于零，所以无实数解，因此此题无解。

测试题三

已知 S = √a + √b + √c，其中 a b c 均为正整数，且 S 为正整数，求 a, b, c 的值。

解答：

对于这道题，我们需要找出三个完全平方数相加等于一个完全平方数的情况。可以试想一个数学定理：任何一个数都可以表示成不大于它的最大的完全平方数和一个不大于这个完全平方数的数之和。

所以 S 可以表示成：

S = m^2 + n

其中，m 为不大于 S 的最大整数完全平方数，n 不大于 m 的一个正整数。

因此，S - m^2 可以表示成 (S - m^2)^2：

S - m^2 = (√a + √b)^2

S - m^2 = a + b + 2√ab

由于 a, b 均为正整数，且存在实数解，所以 a 和 b 必然为二次根式。设√a + √b = x，则√c = S - x，化简：

a + b + 2√ab = x^2

c = S^2 - 2Sx + x^2

设 S = 13，则 S - m^2 = n 可以分别取 1 4 9 的情况，分别代入得到三个解：

a = 4, b = 9, c = 16

a = 1, b = 4, c = 64

a = 16, b = 25, c = 36

测试题四

已知 3 + √2 = (a + b√2)^3，求 a 和 b 的值。

解答：

将右侧的式子展开：

27 + 27b^2 × 2√2 + 18ab(2√2) + 6a^2(4) + 6b^3(√2)

由于左侧只有一个 3 + √2，因此将其平方得：

11 + 6√2

由此得到两个方程：

a^3 + 6ab^2 = 11

3a^2b + 2b^3 = 6

将第一个方程中的 a^3 移项，可得：

a^3 = 11 - 6ab^2

将其代入第二个方程中得：

33b^2 - 6a^2b^2 - 8b^6 = 36

化简得：

3b^2(11 - a^3) - 8b^6 = 36

将得到的 a^3 代入，化简得：

66b^2 - 33a^3 - 8b^6 = 36

此时要根据常识判断 b 的值，因为左侧有且仅有一个二次根式，所以 b 应该是个整数。然后可以通过枚举 b 的值得到 a 的值和二次根式的值，再代入检验即可。经过计算得到：

b = 1，a = 2 - √2